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《千年难题》速读  

2012-02-15 12:17:44|  分类: 乱七八糟 |  标签: |举报 |字号 订阅

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今年粗略看完的第一本书。

1900年巴黎的第二届国际数学大会,希尔伯特提出了23个决定后来数学发展而又没有完全解决的问题,到了2000年,一个世纪以来,除了一个,所有的问题都得到了解决,数学本身也得到了很大的发展,在这个新世纪的起点,CMI(Clay Mathematics Institute)组织了国际上著名的数学家挑选出7个十分困难并位于数学领域中心地位的问题,并承诺给予任何解决每个问题的团体或者个人一百万美元的奖励,详细的信息可以看www.claymath.org

这七个问题是:黎曼假设、杨-米尔斯理论和质量缺口假设、P对NP问题、纳维-斯托克斯方程、庞加莱猜想、伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想、霍奇猜想。

黎曼猜想

先说说自然数,每个大于1的自然数,要么能唯一地(不计顺序)表示成素数乘积的形式,要么本身就是素数,这很好理解,而且这也恰好是数学中著名的算术基本定理,素数在数学家的眼中就好比是化学家眼中的原子一样,而且重要性也不言而喻,掌握了物质的原子结构就能知道物质的许多属性,类似的,知道了自然数的素数分解就能知道该自然数的许多性质。

再说说黎曼这个人吧,我知道东扯西拉还没有步入正轨,不过交代背景是很有必要的。这位多病而又偏执的少年,如果生活在现在就是一典型的宅男+Geek,好在那个时候没有互联网,并且他在学生生涯中碰到了几个比较靠谱的老师,例如中学老师大发慈悲让他顺利毕业,而且校长还能提供点程度较高的书籍来提升黎曼的数学兴趣,攻读学士和博士期间还得到了狄利克雷和高斯的指导,并在33岁的时候就担任了哥廷根大学的正教授,同时在三年之后同妹妹的闺蜜结婚,并生下一个女儿Ida,不过这个Ida和那个传奇程序员Ida不是同一个人。

与黎曼猜想比较接近的两个问题是孪生素数问题和哥德巴赫猜想。目前发现的最大一个孪生素数是4648619711505*260000+1,是2000年发现的,现在是不是最大的就不知道了,哥德巴赫猜想就不用多说了。

素数的密度问题。高斯(就是那位数学王子)研究过素数,并讨论过其分布的问题,简单来说,素数随着N的增大,其分布会越来越稀疏,但是放心,素数是有无穷多个的(关于这一点,欧几里德有一个很精彩的证明)。

式子P(N)/N用于评估素数的密度,高斯发现这一值约等于1/Ln(n),这里的Ln就是自然对数了,但仅仅是猜想。黎曼作为高斯的弟子,也是对素数做了一些研究的。他的ζ函数源自欧拉的ζ函数,只是关心素数而已,本来,他想证明高斯关于素数密度的猜想的,可惜他失败了(后来有人证明高斯猜想是对的)。不过黎曼也不是一无所获,他发现素数密度与方程ζ(z)=0密切相关,注意这里z是复数。首先-2,-4等负偶数都是其解,这一点已经获得证实了,但是黎曼猜想其他所有解都可表示为z=0.5+ib的形式,其中b是实数。目前数学家通过计算机的帮忙,已经证实了前15亿个零点都是成立的,不过数学要的是证明,再多的例子也没用。黎曼猜想对于现今的网络安全至关重要,似乎和RSA加密系统密切相关(我没看出来,可能黎曼猜想能提供素数许多的细节,从而快速实现质因数分解)。

杨-米尔斯理论和质量缺口假设

老实说,我一开始就被这个标题给弄晕了,其实说的是量子理论中的故事,这个问题是数学家为了回应物理学家提出的挑战,就像当年牛顿使用流数这一微分的早期概念完美解决行星运动规律问题一样,物理都开始用上了,可是数学家却没有对这么做合理的解释。

对于大尺度的问题物理学家使用相对论,微观尺度使用量子理论,而且两者还相互矛盾,所以,它们都不是物质的终极理论,所以对于追求大统一理论(GUT)的物理学家来说,这个就是现代物理学的圣杯。该问题可以归结为找到一个简单框架来解释自然界中的四种基本力,电磁力、引力、强核力和弱核力。杨-米尔斯框架就是这样一种尝试,不过该框架带来的问题就是质量缺口假设这一特殊数学问题。

先交代一下这些基本力的历史,当电和磁能相互转换的时候,就有人开始考虑他们能否统一于某个框架下,显然苏格兰的数学家麦克斯韦做到了,于是就有了现在的电磁力。并且麦克斯韦通过方程算出电磁波的速度总是和光速很接近,他大胆猜测该速度就是光速,并且光也是一种电磁波。后来的爱因斯坦通过光速的分析,提出了狭义相对论,例如光速不变原理,并且更进一步,提出了广义相对论,这揭示了质量和引力的本质,引力和加速度是可以相互转化的,引力实际上是物质的存在导致的时空曲率。相对论没有为爱因斯坦带来诺贝尔奖,不过很神奇的是为他带来诺贝尔奖的是光电效应,这一效应实际上为量子理论的发展产生了极大的推动作用,可以毫不夸张地说,如果爱因斯坦要是研究方向变一下的话,估计量子理论的框架都有可能是他打下的,可是他一直坚信上帝不丢骰子。最后是量子理论中的力了,其实我们高中化学学的原子结构,让我们知道了质子、中子和电子,不过他们的本质到底是什么,又是由什么构成?没有人能回答。物理学家猜测应该有强核力将质子固定在一起,同时为了解释核衰变,又引进了若核力的概念。这段时间丹麦和德国的物理学家大大风光了一把。玻尔、海森堡、薛定谔、普朗克、爱因斯坦、赫兹等,一时间群星璀璨。可是,量子理论带来的问题是,我们不能靠直觉和生活经验来理解量子了,于是数学就成了唯一的工具。在量子理论下,物质被视为一种特殊的场,而不是相对论中那样将场视为物质带来的曲率。

另外,物理学家还认为,守恒都可以视作某种形式的对称结果。通过对麦克斯韦方程的研究和采用不同的对称群,外尔、迪拉克等都提出了新的理论,尤其是费曼、施温格等通过对该理论的计算获得了1965年的诺贝尔奖。对于弱核力方面的问题,也有电弱理论。后来,杨振宁和米尔斯采取了类似的策略,提出了杨-米尔斯理论,并写出了几个方程。现在的问题是,这些方程组还没有人能解出来,而且,如果能求出一个解,还得确定该解的特殊性质,这个就是所谓的质量缺口假设了,对于数学家的要求是,先通过解,预测性质,然后必须和实验的观测结果吻合。总体上来说,该理论必须巧妙地解决使用无质量产生有质量的粒子,即能量缺口。这个问题根据原书上的归纳就是:对于任何紧的、单的规范群,四维欧几里德空间中的量子杨-米尔斯方程组有一个预言有一个质量缺口的解。

看完还是云里雾里,不过大概知道了现在的物理学家是搞什么了,我忍了很久不想对某人做任何评价。

P对NP问题

P和NP问题主要考虑的是计算机在执行某些类型任务时能够达到什么样的效率,就纯数学上的研究,该问题并没有其他几个重要,不过对于现在信息技术的使用,P对NP问题的解决就显得非常重要了,该问题用于讨论算法的时间复杂度,P代表多项式,因为多项式复杂度的问题在规模扩大的时候,复杂度并不会带来太大的问题,依旧能够用计算机快速解决,而非多项式的问题就很麻烦了,这就像函数x和ex的变化类似。

当数学家发现计算机的构造是什么样的时候,他们就对计算机失去了兴趣,大概计算机就是一个傻快傻快的铁疙瘩吧。计算机的许多工作根本不需要数学,就像以前我看到的一个笑话说的,某人说自己是程序员,另一个人呢,马上就说他是不是经常和数字打交道,那个人马上回答,呃,是的,通常是0和1。但是数学家马上就知道了如何折腾计算机的方法,这个就是算法理论和人工智能。

美国人库克首先提出了NP完全性,他证明了某个逻辑问题NP是完全的,后来卡普马上证明21个问题是NP完全的,例如旅行商问题就是一个NP问题。许多人猜想NP和P问题是不同类的,但是没有人能证明成立,或者不成立。但是一旦证明了NP问题就是P问题,则现在的算法都能得到极大的提高。库克还证明,如果能够证明某类NP问题就是P问题,则所有的NP的问题就都是P问题了,因为库克有方法将任意NP问题转化为该特殊NP问题。

最后说说书上没有的,2010年8月7日,来自惠普实验室的科学家声称已经解决了P/NP问题,不过似乎圈内还在讨论该证明的准确性。所以到底解决没有真的是不得而知。

纳维-斯托克斯方程

这是一个关于流体微积分的问题。维纳是法国最著名的工程师之一,他的大名都被刻上了艾菲尔铁塔,他不光在工程方面有所建树,在数学上也有很深的造诣,师从傅立叶。

说说这个方程组的来历,最开始是伯努利和欧拉提出了一系列描述流体受到多个力下的运动方程,这些方程的解精确地描述了无粘性(黏性)流体的运动。1822年维纳改进了这一方程,使得方程能够适用于有黏性的流体,虽然他的数学推理是有缺陷的,不过凭借其丰富的工程经验,得到的解却是正确的,几年之后,爱尔兰数学家斯托克斯完成了正确的推导。

这位斯托克斯也是一位大牛,18岁入剑桥大学,四年之后拿奖学金留校做研究,并在8年之后当选为卢卡斯数学教授(想想牛顿、霍金这些人吧),虽然他的大名没上艾菲尔铁塔,不过月球上的一座环形山是以他命名的。

现在,这个方程在数学是是严格的,只是有一个小问题,我们就能得到关于流体运动的完整理论了,那就是——方程的解!目前没人能够证明该方程是否有解(找到一个符合方程的函数式),而且如果有的话,也没人能够找到这个解的公式。不过现实往往是很幽默的,实际上,任何凡夫俗子都能完成求解,每当你冲咖啡或者是吐口气的时候(请注意气体也是一种流体),这个方程就完成了一次求解,可是,没有哪个伟大的科学家能够确定解的函数式是什么样的。事实上,黏度为0的欧拉方程都还没人能解得出来,不过好消息是,将维纳-斯托克斯方程中的Z设为0,看作是二维问题的话,方程是可解的,但是这个解并没有为三维情况下的求解提供任何有用的帮助。

庞加莱猜想

庞加莱出生于法国的一个有家底的家族,父亲是医学教授,而且他的一个表弟还当过法兰西的总理和总统。据说庞加莱都快发现相对论了,他几乎单枪匹马地创建了代数拓扑学。和黎曼类似,他小时候也是体弱多病,难以流利使用母语,但他写作能力一流,而且记忆力惊人。在工作期间还受到了巴黎大学埃尔米特的指导,埃尔米特这个人也是个奇葩,数学考试经常一塌糊涂,他的数学考得特别差,主要原因是他的数学太好。他还在唯一被选入法兰西科学院所有五个部门(几何学、机械学、物理学、地理学和航海学)的人,并担任过该院的院长。

庞加莱有句名言:“我们通过逻辑去证明,通过直觉去创造”。

拓扑学研究集合更一般的性质,数学家研究拓扑学主要是三维或者更高维的对象。拓扑空间没有直线和曲线,甚至没有形状的区分,也不存在距离这一概念。拓扑学是超弦理论(物理学家理解宇宙的最新理论)的基础。二维拓扑学中很著名的一个例子就是哥尼斯堡七桥问题,欧拉对这个问题的解答是拓扑学上的第一个定理。另外一个问题就是四色问题(花了100多年才证明出来,还是有计算机帮忙),他们都揭示了拓扑不变量的特性。有个笑话是说拓扑学家是不能区分炸面包圈和咖啡杯的区别的,其实就是说的这两种物体在拓扑学上的等效。但是,同样用橡胶做的一个轮胎和一个皮球,在拓扑学上是不同的。像许多名词,如默比乌斯带和克莱茵瓶都是和拓扑学密切相关的。

庞加莱和其他数学家打算对三维曲面(称为流形)进行分类,估量任意一个流形和三维球面的差异程度,从而对所有三维流形进行分类。他猜测画在曲面上的圆圈沿着曲面移动的时候能够收缩为一个点的性质是只有球面才能具有的,像画在轮胎上的圈,沿着轮胎移动并不能收缩为一点,但是在篮球上的圈就可以收缩为一点。但是后来他意识到庞加莱的提问是:一个具有圈收缩性质的三维流形是否可能不与三维球面等价?这就是庞加莱猜想,更进一步的猜想是对于高维情形下的也具有类似性质,当然,对于二维的问题,实际上就是单连通性了。1960年才有美国数学家斯梅尔证明五维及其以上的情况下该猜想是成立的,1981年弗里德曼证明了四位流形的猜想,可是三维的问题却迟迟没人能够解决,不过这本书上也说,俄罗斯数学家佩雷尔曼据说是证明了该问题,不过这位怪人似乎对于这100万美元不屑,果然牛人就是牛人,另外,据说原证明比较难懂,而且是直接给出许多结论,华裔的数学家丘成桐、朱熹平和曹怀东完善了其证明。这一猜想算是画上了一个句号。

伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想

该猜想涉及的数学对象是椭圆曲线,就是那种你计算椭圆周长会碰到的式子(其实是他们的方程),一般形式是y^2=x^3+ax+b(a,b为整数)。这两位学者的工作就是,从曲线上找到有理数对。对于椭圆曲线,当我在学习微积分的时候,知道了这种类型的积分是不可积的之后,就对它没什么兴趣了,原因很简单,考试不会考。所以后面对于他们的工作也看不下去了。

霍奇猜想

这个是最难理解的。该猜想是:一个非奇异射影代数簇上的每一个(一定类型的)调和微分形式都是代数闭链的上同调类的一个有理组合。

就我看来,任何非数学专业或具有数学研究背景的人,如果声称能读懂,都有装的嫌疑。

完。

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