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贝塞尔曲线  

2012-10-14 13:48:13|  分类: M&M |  标签: |举报 |字号 订阅

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最近学习一下CAD软件,其中曲面中一个很重要的概念就是贝塞尔曲线,该曲线是20世纪70年代,雷诺汽车公司的Pierre Bezier和雪铁龙汽车公司的Paul de Casteljau各自独立地推导出了CAD/CAM中广泛应用的贝塞尔曲线,这些参数多项式是一类逼近样条。

与贝塞尔曲线紧密相关的是伯恩斯坦多项式,这里将Bernstein多项式记作贝塞尔曲线 - Castor - 趁年轻,多折腾 ,该多项式定义如下:

贝塞尔曲线 - Castor - 趁年轻,多折腾

其中i=0,1,2,…n

Mathematica中构造该函数可以使用语句:

Bernstein[x_,i_,n_]:=ExpandAll[Binomial[n,i]*x^i*(1-x)^(n-i)]

当然,最简单的方法是调用BernsteinBasis函数,BernsteinBasis[d,n,x]表示在 x 处度数为d 的第 n次 Bernstein 基函数 。

Casteljau最开始是使用递归方法隐式地定义的,该递推关系如下:

贝塞尔曲线 - Castor - 趁年轻,多折腾
 其中i=1,2,3,…n-1

通常,n阶伯恩斯坦多项式一共有(n+1)个,例如四阶的伯恩斯坦多项式为:

贝塞尔曲线 - Castor - 趁年轻,多折腾
 除此之外,还有其他一些性质:

非负性

多项式在[0,1]上是非负的,这个结论是显然的,对于四阶伯恩斯坦多项式,函数图形如下:

贝塞尔曲线 - Castor - 趁年轻,多折腾
 规范性

贝塞尔曲线 - Castor - 趁年轻,多折腾
原因很简单,对于二项式:
贝塞尔曲线 - Castor - 趁年轻,多折腾
 x=xy=1-x,代入得证。
导数
贝塞尔曲线 - Castor - 趁年轻,多折腾
 

n阶伯恩斯坦多项式组成阶数小于等于n的所有多项式的一个基空间。

根据该性质,所有n阶多项式都可以被n阶伯恩斯坦多项式线性表示。如果给定一个控制点集P,其中Pi=(xi,yi),则贝塞尔曲线被定义为:
 贝塞尔曲线 - Castor - 趁年轻,多折腾

该公式中的控制点是表示平面中的xy坐标的有序对。x坐标和y坐标可单独由该式推导出。

例如求控制点(1,2)(2,-3)(3,1)(4,-2)所表出的贝塞尔曲线,则: 
贝塞尔曲线 - Castor - 趁年轻,多折腾
展开有:
贝塞尔曲线 - Castor - 趁年轻,多折腾
 Mathematica中绘制图形命令:

ls = ListLinePlot[{{1, 2}, {2, -3}, {3, 1}, {4, -2}}, Axes -> False];

g = ParametricPlot[{1 + 3 t, 2 - 15 t + 27 t^2 - 16 t^3}, {t, 0, 1}];

Show[ls, g]

绘制图形如下:

贝塞尔曲线 - Castor - 趁年轻,多折腾
 显然控制点集的第一个点和最后一个点就是贝塞尔曲线的端点。

另外一个性质是,贝塞尔曲线在端点的切线,是平行于过端点和相邻控制点的连线,即有:

贝塞尔曲线 - Castor - 趁年轻,多折腾
 对于前面的一个例子,可以检验一下,在t=0时,曲线的斜率是:

贝塞尔曲线 - Castor - 趁年轻,多折腾
 而:P0=(1,2)P1=(2,-3),所以连线斜率为:

贝塞尔曲线 - Castor - 趁年轻,多折腾
 

完整PDF版本下载在这里:http://wenku.baidu.com/view/31c78af19e314332396893bb.html?st=1
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