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使用DSolve解微分方程(五)  

2013-07-13 18:20:42|  分类: M&M |  标签: |举报 |字号 订阅

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关于微分方程的识别。

Mathematica内部有一套完善的微分方程识别逻辑,如果输入的方程恰好是输入这一模式,则套用现成的公式或解法,直接完成求解,这对于微分方程的求解速度是十分有好处的。例如下例:

使用DSolve解微分方程(五) - Lemniscate - 信息,灵感,创新

  计算的结果是:

{{y[x] -> C[1] MathieuC[3, 2, x] + C[2] MathieuS[3, 2, x]}}

这其中有个函数MathieuC和MathieuS,分别表示马修函数中的偶函数和奇函数,例如我们绘图如下:

Plot[{y[x] /. sol /. {C[1] -> 1, C[2] -> 0},   y[x] /. sol /. {C[1] -> 0, C[2] -> 1}},{x, -2, 2}]

得到函数图形如下:

使用DSolve解微分方程(五) - Lemniscate - 信息,灵感,创新

可以看到有一个奇函数和一个偶函数。 

像这种形式的函数,早就被数学家们给研究透了,所以就不直接给结果,直接用函数表示。Mathematica充分吸收前人的研究成果,并将其实现,具有下表中形式的函数都能被DSolve求解:

使用DSolve解微分方程(五) - Lemniscate - 信息,灵感,创新

 三维效果的Mathieu图形:

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