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能被一些数整除的特征  

2016-02-01 17:37:45|  分类: 数学小曲 |  标签: |举报 |字号 订阅

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介绍一些如2、3、5、7、9等数整除的一些技巧和如何推导这一技巧的方式。注意,这些方法都是可行的,但是判定方式不唯一,大家可以自己去推导。
1. 2和5
当然是2和5了,看末位就行,这个太简单以至于我不想说什么。
2. 4和25
末两位数能被4整除,则该数能被4整除,末两位数能被25整除,则该数也能被25整除(道理很简单,因为100能被4和25整除)。
3. 8和125
看末三位,道理同4和25。事实上,在10进制中,2^n和5^n(n>1)具有同样的判断技巧。
4. 3和9
众所周知,如果一个数各位之和能被3整除,则该数能被3整除,同样的方法适用于9,那么原因是什么?这里有两个解释。
解释1:如果3|(10x+y),则3|(x+y)(实际上,更强大的结论是两者余数相同,即10x+yx+y(mod 3))。
证明很简单:3|(10x+y)<=>3|(x+y)+9x<=>3|(x+y)。
这已经能说明问题了:将一个多位整数P记作xy,其中x是除去个位的数码,y是个位数,则P=10*x+y,例如P=123456,x就是12345,y就是6。显然,123456与12345+6能否被3整除的效果一致,反复使用这一方式,123456与12345+6与1234+5+6能否被3整除的效果一致,最后可以得到,该数与各位数之和能否被3整除效果一致。也就是各位数字之和。对于9具有同样的证明。
解释2:另一个方式是采用二项式公式因为10=3*3+1,任何一个数将其权数用改式子替换立马可见,能否被3整除与各位数之和有非常明显的关系。
5. 7
将一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去原数个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除,该步骤可反复操作。
原理是这样的:7|(10x+y),则7|(x-2y)
证明很简单:7|(10x+y)<=>7|10(x-2y)+21y<=>7|(x-2y)。
例如,判断11053能否被7整除,先试试1105-3*2=1099==>109-18=91==>9-2=7,能被7整除,因此该数能被7整除。
当然,不喜欢算减法的同学,可以使用另一种略复杂的方法:将一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上原数个位数的5倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除,该步骤可反复操作。
原理是这样的:7|(10x+y),则7|(x-2y),也有7|(x+5y)。只需要将x-2y上加上7y就明白了。
6. 11
经典的判断方法是:把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),则该数能被11整除。
原理如下:
10≡-1(mod11)
10*10≡(-1)*(-1)=1(mod11)
10*10*10≡(-1)*(-1)(-1)=-1 (mod11)
10*10*10*10≡1(mod11)
所以,一个整数各位交替变符号之和,如果能被11整除,该数就能被11整除。用二项式展开,也能说明这个判断方式的依据。
另外一种方式是和7有点类似,就是将一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去原数的个位数,如果差是11的倍数,则原数能被11整除,该步骤可反复操作。道理很简单:(10x+y)≡(x-y) (mod11)
例如,1837,用第一种方式判断:1+3-8-7=-11能被11整除,因此1837能被11整除。
用第二种方式,1837==>183-7=176=>17-6=11,能被11整除,同样说明1837能被11整除。
7. 13
将一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上原数个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除,该步骤可反复操作。
原理:13|(10x+y),则7|(x+4y)
证明很简单:13|(10x+y)<=>13|10(x+4y)-39y<=>13|(x+4y)。
例如,判断11063,1106+12=1118==>111+24=135==>13+20=39,所以11063能被13整除。
8. 17
同13类似,直接给出结论:将一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去原数个位数的5倍,如果是17的倍数,则原数能被17整除,该步骤可反复操作。
另一个判定方式是:将一个整数的末两位截去,剩余的数乘以2,再减去原来整数被截下的末2位,如果差是17的倍数,则这个数能被17整除。
原理:100x+y=17*6x-2x+y=y-2x2x-y(mod 17)
还有一个更复杂点的:一个整数的末三位截去,剩余的数乘以3,再减去原来整数被截下的末3位,如果差是17的倍数,则这个数能被17整除。
例如判断12852,按方法2:128*2-52=204==>2*2-4=0,因此12852能被17整除。
9. 19
同样直接给出结论:将一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上原数个位数的2倍,如果和是19的倍数,则原数能被19整除,该步骤可反复操作。
10. 23
同样直接给出结论:将一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上原数个位数的7倍,如果和是23的倍数,则原数能被23整除,该步骤可反复操作。
其他的大家可以自己推导。
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